对任意旋转矩阵 $\bf R$ 和三维向量 $\bf v$，都有 $({\bf R v})^{\land} = {\bf Rv^{\land}R}^{T}$

这个性质在机器人动力学等很多地方都用得到。有人问这个性质怎么证明，这里提供一个思路。思路很简单，只是需要转个弯。

这里要把 $()^{\land}$ 运算符转换成叉乘。我们知道，对于任意 ${\bf v,u}\in \mathbb{R}^3$，总有${\bf v}^{\land}{\bf u}={\bf v \times u}$。于是

\[\begin{aligned} & ({\bf R v})^{\land} = {\bf Rv^{\land}R}^{T} \\ \Leftrightarrow\quad & ({\bf R v})^{\land}{\bf R} = {\bf Rv^{\land}} \\ \Leftrightarrow\quad &\forall {\bf u}\in \mathbb{R}^3, ({\bf Rv})^{\land}{\bf Ru}={\bf Rv}^{\land}{\bf u} \\ \Leftrightarrow\quad &\forall {\bf u}\in \mathbb{R}^3, ({\bf Rv})\times({\bf Ru})={\bf R(v\times u)} \end{aligned}\]

最后一式利用向量叉乘的旋转变换不变性（参看 Wikipedia）可证。即，对于任意 ${\bf v,u}\in \mathbb{R}^3$，永远有

\[({\bf Rv})\times({\bf Ru})={\bf R(v\times u)}\]

这一点，可以调用你的空间想象力，从三维几何的角度来理解：${\bf v,u}$ 是任意两个三维向量，$({\bf v\times u})$ 是一个和 ${\bf v,u}$ 都垂直、大小为 ${\bf |v| |u|} \sin ({\bf u, v})$ 的三维向量；将 ${\bf v,u,v\times u}$ 三个向量都经过同一个旋转，它们的相对位姿和模长都不会改变，所以 $({\bf Rv})$ 和 $({\bf Ru})$ 的叉乘仍是 ${\bf R(v\times u)}$。